СЕМИНАР „АЛГЕБРА И ЛОГИКА”

Следващото заседание на семинара ще се проведе на 12 май 2017 г. (петък) от 13:00 часа в зала 578 на ИМИ – БАН.

Доклад на тема:

РАЗКЛОНЕНИ р-РАЗШИРЕНИЯ И р-РАЗМЕРНОСТИ НА БРАУЕР НА ДИСКРЕТНО НОРМИРАНИ ПОЛЕТА С ОСТАТЪЧНА ХАРАКТЕРИСТИКА р

ще изнесе доц. Иван ЧИПЧАКОВ.

Поканват се всички желаещи.

Резюме. Нека Brdp(E) е p-размерността на Брауер на поле E с хензелево дискретно нормиране и поле от остатъци Ê с характеристика p > 0. От добре известна теорема на Вит следва, че ако Ê е съвършено поле, т.е. Ê = Êp = {αp: α ∊ Ê}, то Brdp(E) ≤ 1, като Brdp(E) = 1 ↔ Ê притежава разширение на Галоа от степен p. Освен това, не е трудно да се докаже, че Brdp(E) = ∞, ако Ê/Êp е безкрайно разширение. Пресмятането на Brdp(E) се оказва по-трудно, особено при ch(E) = 0, когато степента [Ê: Êp] е pn, за някое n ∊ℕ, а самата задача е свързана с изучаването на Brdp(F), за крайно-породени трансцендентни разширения F/F0, където ch(F0) = 0 или p. За ch(E) = p е известно, че Brdp(E) ≤ n + 1, а първият основен резултат в настоящия доклад показва, че Brdp(E) ≥ n (Manuscr. Math. 148 (2015)), което заедно с резултат на Aravire и Jacob определя стойността на Brdp(E). Неравенството е изведено от факта, че всяка крайна абелева p-група е изоморфна на група на Галоа на напълно разклонено абелево разширение на E. Когато ch(E) = 0, Parimala и Suresh (Invent. Math. 197 (2014)) установяват, че Brdp(E) ≤ 2n и Brd(E’) ≥ [n/2], където E’ е разширение на E, породено от примитивен p-ти корен от 1. Bhaskhar и Haase показват за нечетно n, че Brdp(E’) ≥ 1 + [n/2] (arXiv:1611.01248v2 [math.NT]). Те формулират хипотезата (BH), че n ≤ Brdp(E) ≤ n + 1 и доказват редица твърдения, сред които и следното: Brdp(E) ≤ n + 1, при n ≤ 4; Brdp(E’) ≥ 2, при n ≥ 2. Вторият основен резултат в доклада показва, в съгласие с (BH), че абсолютната p-размерност на Брауер на E е поне n. Получено е още, че Brdp(E) ≥ n – [n/3] – 1 и неравенството е строго, ако n ≠ 5 или E = E’. Представеното изследване, съчетано с резултат на Халин (Зап. Научн. Семин. ЛОМИ им. Стеклова 175 (1989)), доказва (BH) в случая на n-мерно локално поле Ê.